Definició
Definició GP.RP.03. Siguin \(P_1,P_2,P_3,P_4\) quatre punts d'una recta projectiva que, fixat un sistema de referència, tenen coordenades homogènies \((x^0_i,x^1_i)\) amb \(i=1,2,3,4\). La raó doble d'aquests quatre punts és \[(P_1P_2P_3P_4)=\frac{\begin{vmatrix}x^0_3 & x^0_1\\x^1_3 & x^1_1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x^0_3 & x^0_2\\x^1_3 & x^1_2\end{vmatrix}}:\frac{\begin{vmatrix}x^0_4 & x^0_1\\x^1_4 & x^1_1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x^0_4 & x^0_2\\x^1_4 & x^1_2\end{vmatrix}}\]
Nota. La raó doble de quatre punts no depèn del sistema de referència triat. En efecte, si (\(y^0_i,y^1_i)\) són les coordenades de \(P_i\) en una altra referència i \(A\) és la matriu de canvi de base, aleshores \[k_i\begin{pmatrix}y^0_i\\y^1_i\end{pmatrix} = A\begin{pmatrix}x^0_i\\x^1_i\end{pmatrix}\]
Així, en el numerador i denominador de les dues fraccions que composen la raó doble, apareixerà un terme \(k_i \det{A}\neq0\) i es cancel·laran.
Nota. Observem que la raó doble no depèn de les coordenades homgènies utilitzades. En efecte, si substiuïm (\(x^0_i,x^1_i)\) per (\(k_i x^0_i,k_i x^1_i)\) amb \(k_i\neq 0\), els factors \(k_i\) es cancel·len.
Càlcul amb coordenades no homogènies
Siguin \(\{U_0,U_1;U\}\) una referència d'una recta projectiva \(\mathcal{L}\) i \(X=(x^0,x^1)\in \mathcal{L}\) un punt. Calculem la raó doble \[(U_1 U_0 U X)=\frac{\begin{vmatrix}1 & 0\\1 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}1 & 1\\1 & 0\end{vmatrix}}:\frac{\begin{vmatrix}x^0 & 0\\x^1 & 1\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}x^0 & 1\\x^1 & 0\end{vmatrix}}=\frac{1}{-1}:\frac{x^0}{-x^1}=\frac{x^1}{x^0}\]
Aleshores \((U_1 U_0 U X)\) és la coordenada no homogènia del punt \(X\neq U_1\).
Si \(x_1,x_2,x_3,x_4\) són les coordneades no homogènies de quatre punts \(P_1,P_2,P_3,P_4\) d'una recta projectiva, aleshores \[(P_1P_2P_3P_4)=\frac{x_3-x_1}{x_3-x_2}:\frac{x_4-x_1}{x_4-x_2}\]